Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1. はじめに

STARKsの非効率性の主な理由の一つは、実際のプログラムでの大半の数値が小さいことです。たとえば、forループのインデックスや真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張すると、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めてしまいます。たとえ元の値自体が非常に小さくてもです。この問題を解決するために、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに対して、バイナリフィールドはビットに直接操作を行うことを可能にし、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、任意の無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。

ゴルディロックス、ベビーベア、マースン31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代にさかのぼります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例としては:

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。

• Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128フィールドに基づいて;

• QRコード、F28に基づくリード・ソロモン符号を使用;

• 原始FRIとzk-STARKプロトコル、さらにSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰的なハッシュアルゴリズムとして非常に適しています。

小さな体を使用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進法体は、安全性と実用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関連する多項式は、拡張体に入る必要がなく、基体の下で操作するだけで、より小さな体で高い効率を実現します。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。

二進数領域に基づいて証明システムを構築する際、2つの実際の問題が存在します。STARKsにおいてトレースを表現する際に使用する領域のサイズは多項式の次数よりも大きい必要があります。また、STARKsにおけるマークルツリーのコミットメントでは、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用する領域のサイズは符号化された拡張サイズよりも大きい必要があります。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することで実現しています。まず、単変数多項式の代わりに多変数(具体的には多次元)多項式を使用し、"超立方体"(hypercubes)上でのその値を通じて計算の全軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準のReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を平方(square)と見なし、その平方に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2. 原理分析

現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常以下の2つの部分を含んでいます:

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明(Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP):PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信することを許可し、検証者は少量の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、およびHyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なるため、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム(Polynomial Commitment Scheme, PCS):多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一種であり、これを通じて証明者は特定の多項式にコミットし、その後にその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式のその他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI(Fast Reed-Solomon IOPP)、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的な要件に応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS の組み合わせで、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 は設計時に、スケーラビリティと ZCash プロトコルにおけるトラストセットアップの排除に重点が置かれています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks域に基づいています。Plonky2は高効率の再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択するPIOPとPCSは、使用する有限域または楕円曲線と一致させる必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかも決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields(のタワーバイナリドメイン)towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワー型二進法体は、高速かつ検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。二進法体は本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能に敏感な暗号アプリケーションに理想的な選択肢となります。さらに、二進法体の構造は簡素化された算術化プロセスをサポートしており、二進法体上で行われる演算は、コンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造を通じてその階層的な特性を十分に活用できることから、二進法体はBiniusのような拡張可能な証明システムに特に適しています。

"canonical"は、バイナリフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数フィールドは32ビットの中に含めることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を備えています。素数フィールドFpにおける一般的な簡約方法には、Barrett簡約、Montgomery簡約、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特別な簡約方法が含まれます。バイナリフィールドF2kにおいて、一般的な簡約方法には、AESで使用される特別な簡約(、POLYVALで使用されるMontgomery簡約)、そしてTower(のような再帰的簡約)が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、バイナリフィールドは加算および乗算において繰り上がりを導入する必要がなく、バイナリフィールドの平方運算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素として見なすことができるか、または二つの64ビットタワーフィールド要素、四つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することができます。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、ビット文字列の型変換(typecast)に過ぎないため、非常に興味深く、便利な属性です。同時に、小さなフィールド要素は追加の計算コストなしに大きなフィールド要素にパッケージ化することができます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」では、nビットタワー型バイナリフィールド内で(mビット部分フィールド)に分解して乗算、平方、および逆算の計算複雑性について探討しています。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

( 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには:

1. GateCheck:秘密証明ωと公開入力xが回路計算関係C)x,ω###=0を満たしているかどうかを検証し、回路が正しく動作することを確認します。

2. PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π)x((。

3. LookupCheck:多項式の評価が指定された検索表にあるかどうかを確認します。つまり、f)Bµ) ⊆ T(Bµ)であり、特定の値が指定された範囲内であることを確認します。

4. MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。つまり、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈Hのように、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある宣言された値∏x∈Hµ f(x) = s に等しいかどうかを検証し、多項式の積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck: ブール超立方体上の任意の点が多変数多項式のゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確保するため。

7. SumCheck: 多変数多項式の合計が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを軽減します。また、SumCheckはバッチ処理も可能で、ランダム数を導入することで、複数の合計検証インスタンスのバッチ処理を実現する線形組み合わせを構築します。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点があるにもかかわらず、以下の3つの点で改善を行いました:

• ProductCheckの最適化: HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に零でないことを要求し、かつ積が特定の値に等しい必要があります; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減しました。

• ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言できない。Biniusはこの問題を正しく処理しており、分母がゼロの場合でもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積の値への拡張を許可する。

• 列間のPermutationCheck: HyperPlonkにはこの機能はありません; Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置状況を処理することができます。

したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することにより、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリーフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。

( 2.3 PIOP:新しいマルチラインシフト引数------ブールハイパーキューブに適用

Biniusプロトコルにおいて、仮想多項式の構築と処理は重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は二つの重要な方法です:

• Packing:この方法は、辞書順で隣接する位置の小さい要素をより大きな要素にパッキングすることで操作を最適化します。Pack演算子はサイズが2κのブロック操作を対象とし、それらを組み合わせて高